La nature fait (parfois) écho au mythique « nombre d’or »

18/01/2022 12:03:00

#Rediff La nature fait (parfois) écho au mythique « nombre d’or »

Rediff, The Conversation

Rediff La nature fait (parfois) écho au mythique « nombre d’or »

Découvrez, chaque jour, une analyse de notre partenaire The Conversation . Aujourd’hui, des chercheurs révèlent les secrets structurels de certains végétaux

Ainsi, un angle de divergence qui vaut 1/6 signifie que l’on tourne d’un sixième de tour autour du centre du capitule pour placer le fleuron suivant. Si la position du nouveau fleuron après cette rotation vient à se superposer avec un fleuron déjà existant, on augmente la distance au centre du capitule de façon à s’écarter suffisamment de l’ancien fleuron.

Simulations pour ¼ et 1/6 © G. Chagny & T. de la Rue via The ConversationQuand on tourne d’un quart de tour (première image), il se forme 4 branches rectilignes, ce qui s’explique facilement : si on répète 4 fois cette opération, on revient dans la direction de départ. De même, un sixième de tour donne 6 branches (seconde image). Lorsque l’angle de divergence vaut 11/23 (troisième image), 23 itérations de la rotation correspondent à 11 tours complets, donc aboutissent aussi à la direction de départ : on obtient alors 23 branches rectilignes.

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cette excellente vidéo (en anglais) de Numberphile, dont nous nous sommes également inspirés pour les explications qui vont suivre.Vittoria Colizza, épidémiologiste et directrice de recherche à l'Inserm.Anne Hidalgo déçue de la non-convergence des gauches En difficulté dans les sondages, Anne Hidalgo peine à s'imposer dans cette campagne., ce dispositif citoyen qui cherche à faire l'union de la gauche pour avoir une candidature unique sur la ligne de départ.

Ce modèle repose sur un principe général : les organes d’une plante comme les feuilles, les pétales, ou ici les fleurons, poussent les uns à la suite des autres en formant à chaque fois un angle fixé avec le précédent. Cet angle s’appelle l’angle de divergence, et on l’exprime en général comme une proportion d’un tour complet. À titre de comparaison, on en dénombrait 6000 en avril. Ainsi, un angle de divergence qui vaut 1/6 signifie que l’on tourne d’un sixième de tour autour du centre du capitule pour placer le fleuron suivant. Elle n'arrive pas à susciter le ralliement de l’écologiste Yannick Jadot, ni celui de l’Insoumis Jean-Luc Mélenchon et ni même celui du communiste Fabien Roussel. Si la position du nouveau fleuron après cette rotation vient à se superposer avec un fleuron déjà existant, on augmente la distance au centre du capitule de façon à s’écarter suffisamment de l’ancien fleuron. Selon les projections du bureau régional de l’Organisation mondiale de la santé (OMS) pour l’Europe,"le pic de la vague Omicron pourrait arriver [en Europe] autour de la troisième semaine de janvier avec plus ou moins d’avance selon les pays". Début de la construction pour un angle de divergence valant 1/6 © G. "S'interroger sur leur bilan" Le député européen jette également un regard sévère sur le bilan des années Hollande.

 Chagny & T. Si le scientifique estime que cette vague pourrait être la dernière, plusieurs inconnues persistent.". de la Rue via The Conversation Dans ce modèle, le processus se termine lorsque l’on arrive au bord d’un disque dont la taille est fixée à l’avance. Quelle figure obtient-on alors ? L’allure de celle-ci dépend fortement de la valeur de l’angle de divergence." L'autre menace: l 'émergence d'un nouveau variant . Voyons d’abord le résultat pour des valeurs simples. Simulations pour ¼ et 1/6 © G. "Des restrictions persistent, un nouveau variant plus dangereux peut émerger… On est encore en phase pandémique, et on n'a pas de preuve pour dire que cette vague sera la dernière", avertit pour sa part Vittoria Colizza.).

 Chagny & T. de la Rue via The Conversation Simulation pour 11/23 © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation ​Des branches dans les fleurs Quand on tourne d’un quart de tour (première image), il se forme 4 branches rectilignes, ce qui s’explique facilement : si on répète 4 fois cette opération, on revient dans la direction de départ. De même, un sixième de tour donne 6 branches (seconde image). Le candidat écologiste est crédité de 7% des intentions de vote, en hausse de 2 points, dans le.

Lorsque l’angle de divergence vaut 11/23 (troisième image), 23 itérations de la rotation correspondent à 11 tours complets, donc aboutissent aussi à la direction de départ : on obtient alors 23 branches rectilignes. Du point de vue de la plante, ces angles de divergence ne sont pas vraiment intéressants, car une bonne partie de la place disponible sur le capitule n’est pas exploitée. Ce problème survient à chaque fois que l’on choisit un angle de divergence rationnel, c’est-à-dire qui s’écrit comme le quotient de deux nombres entiers. Il est donc tentant de tester ce qui se passe lorsque l’angle de divergence n’est pas rationnel. On dit alors qu’il est irrationnel : on ne peut pas l’écrire comme le quotient de deux nombres entiers.

Un premier exemple de nombre irrationnel qui vient à l’esprit est celui du fameux nombre ϖ, qui intervient dans le calcul du périmètre du cercle et dans tant d’autres formules mathématiques. La figure suivante montre le résultat obtenu si l’on choisit un angle de divergence égal à 1/ϖ. Simulation pour 1/ϖ © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation ​Le nombre ϖ est trop rationnel ! Curieusement, alors que ϖ (donc aussi 1/ϖ) n’est pas un nombre rationnel, la figure est du même type que celle obtenue pour un rationnel comme 11/23, avec ici 22 branches.

Néanmoins ces branches sont ici légèrement courbées. L’examen attentif de la figure donnée pour 1/ϖ va nous permettre de mieux comprendre les qualités attendues de l’angle de divergence pour la plante. Commençons par observer ce qui se passe vers le centre : le processus commence par former 3 branches recourbées. On peut expliquer facilement la présence de ces 3 branches : l’écriture décimale de ϖ commence par 3,14159… donc dans une première approximation, ϖ est proche de 3. Le nombre 1/ϖ est donc proche de 1/3.

Or, un angle de divergence 1/3 donnerait une figure à 3 branches rectilignes, et ce qui se passe vers le centre est donc une approximation de ce comportement. Ces 3 branches sont ici courbées, car 1/ϖ n’est pas exactement égal à 1/3. Puis, à mesure que les nouveaux fleurons sont formés, la distance au centre augmente, et approcher l’angle de divergence par 1/3 devient trop grossier. Les 3 branches centrales finissent alors par disparaître. Comment expliquer ensuite la formation de 22 nouvelles branches ? Une autre approximation simple du nombre ϖ, beaucoup plus précise que 3, est donnée par la fraction 22/7≃3,142857.

Ainsi l’angle de divergence est très bien approché par la fraction 7/22. S’il était égal à 7/22 on observerait 22 branches rectilignes. Comme l’approximation est très bonne mais pas exacte, on obtient ces 22 branches légèrement courbes. Même si 1/ϖ n’est pas un nombre rationnel, il est loin d’être optimal, car trop d’espace est perdu sur le capitule : sur la même surface, on pourrait mettre beaucoup plus de fleurons qui donneraient plus de graines ! La surface perdue vient du fait que l’angle de divergence 1/ϖ est trop bien approché par des nombres rationnels. Pour que les fleurons soient disposés de manière très efficace sur le capitule, il faudrait donc utiliser un angle de divergence qui soit le plus mal possible approché par des nombres rationnels.

​Le nombre d’or entre en scène Le problème de l’approximation diophantienne (comment approcher un nombre quelconque par des nombres rationnels) est relié à la théorie des fractions continues, qui consiste à représenter tout nombre sous forme d’une fraction, éventuellement infinie lorsque le nombre est irrationnel. Par exemple, le nombre 1/ϖ peut s’écrire sous la forme où la fraction se poursuit indéfiniment. Écriture de l’inverse de ϖ sous forme d’une fraction continue © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation En tronquant cette fraction infinie, on obtient les meilleures approximations d’un nombre irrationnel donné par des rationnels : ce que l’on appelle les réduites .

Par exemple, en arrêtant la fraction au nombre 7, on obtient la réduite 7/22 comme bonne approximation de 1/ϖ. Approximation de l’inverse de ϖ par l’une de ses réduites © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation Toutefois il existe un nombre pour lequel ces réduites restent le plus éloignées possible : celui dont le développement en fraction continue ne comporte que des « 1 ». Il s’écrit Fraction continue pour l’inverse du nombre d’or © G.

 Chagny & T. de la Rue via The Conversation Or ce nombre est précisément l’inverse du nombre d’or : L’inverse du nombre d’or © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation Cette théorie nous amène ainsi au choix optimum de l’angle de divergence, celui qui est le plus mal approché par des nombres rationnels : c’est l’angle dont le rapport avec un tour complet vaut l’inverse du nombre d’or, et que l’on nomme l’ angle d’or . Voyons la figure donnée dans ce cas.

Simulation lorsque l’angle de divergence vaut l’angle d’or 1/φ © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation On observe effectivement avec l’angle d’or une bien meilleure utilisation de l’espace disponible : les fleurons sont disposés régulièrement sans laisser d’espace vide important sur le capitule. On note également une réelle ressemblance avec la disposition observée sur de vrais tournesols. ​Et Fibonacci dans tout ça ? Les spirales sur la figure de l’angle d’or correspondent aux « branches » que l’on observe dans les cas d’un angle de divergence (presque) rationnel : chaque réseau de spirales est associé à une approximation rationnelle de l’angle d’or par l’une de ses réduites.

Comme dans les cas 1/6, 11/23 ou 1/ϖ, le nombre de spirales (ou de branches) est donné par le dénominateur de la fraction définie par la réduite. Or les réduites de l’angle d’or ont pour dénominateurs successifs… les nombres de Fibonacci ! .