de Numberphile, dont nous nous sommes également inspirés pour les explications qui vont suivre.
Début de la construction pour un angle de divergence valant 1/6 © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation Un premier exemple de nombre irrationnel qui vient à l’esprit est celui du fameux nombre ϖ, qui intervient dans le calcul du périmètre du cercle et dans tant d’autres formules mathématiques. La figure suivante montre le résultat obtenu si l’on choisit un angle de divergence égal à 1/ϖ.Le nombre ϖ est trop rationnel !
On peut expliquer facilement la présence de ces 3 branches : l’écriture décimale de ϖ commence par 3,14159… donc dans une première approximation, ϖ est proche de 3. Le nombre 1/ϖ est donc proche de 1/3. Or, un angle de divergence 1/3 donnerait une figure à 3 branches rectilignes, et ce qui se passe vers le centre est donc une approximation de ce comportement.
Ainsi l’angle de divergence est très bien approché par la fraction 7/22. S’il était égal à 7/22 on observerait 22 branches rectilignes. Comme l’approximation est très bonne mais pas exacte, on obtient ces 22 branches légèrement courbes. En tronquant cette fraction infinie, on obtient les meilleures approximations d’un nombre irrationnel donné par des rationnels : ce que l’on appelle. Par exemple, en arrêtant la fraction au nombre 7, on obtient la réduite 7/22 comme bonne approximation de 1/ϖ.
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